El 26

Les matemàtiques ens poden fascinar amb fets absolutament al·lucinants que contradiuen (en aparença) el que ens dicta el nostre sentit comú. I alguns d'aquests fets els tenim davant dels nassos, afecten nombres aparentment intranscendents i passen absolutament inadvertits...
Fixem-nos si no en el nombre 26. Aparentment, una xifra de la pila, vulgar, sense cap connotació mística ni ressonància màgica. Què el podria fer especial?
Doncs hi ha una propietat que no tan sols el fa especial sinó que el fa únic!
Al segle XVII, Pierre de Fermat (qui si no!) va descobrir i demostrar que el 26 és L'ÚNIC nombre de tota la sèrie infinita de nombres que està situat entre un quadrat i un cub!
Certament, el 25 és el quadrat de 5 i el 27 el cub de 3. Però... No hi ha cap altre número, de tota la sèrie infinita de números, que tingui per veïns un quadrat i un cub? La lògica sembla indicar-nos en un primer moment que, ni que sigui per estadística, ni que ens hàgim de remuntar a nombres enormes, algun altre número ha de presentar aquesta particularitat en aparença tan senzilla, oi?
Doncs no.

Nombres Amics

Els pitagòrics ja van descobrir que els nombres 220 i 284 presentaven una característica extraordinària: Els divisors de 220 són 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, que sumats tots ells són 284. Per altra banda, els divisors de 284 són 1, 2, 4, 71 i 142 que, tots sumats, donen 220.
Es va estendre la idea que aquests dos nombres podien ser un símbol de l'amistat, i els trobem gravats en talismans, penjolls i anells antics. Un cronista àrab va explicar el ritual de gravar els nombres en dues fruites que els amics o amants compartien per a segellar la seva amistat eterna. I, ja al llibre del Gènesis, s'explica que Jacob entregà 220 cabres a Esaú com a mostra de la seva estima.
Durant segles, no es va trobar cap altre parella de nombres amics fins que el 1636 el matemàtic Pierre de Fermat (sí, el del famós teorema) descobrí la parella 17 296 i 18 416, suposem que a base de paper, ploma i genialitat. El gran René Descartes també s'hi dedicà, aconseguint fer sortir de l'armari la parella 9 363 484 i 9 437 056. Però el colossal matemàtic suís del s. XVIII Leonhard Euler va ser el millor descobridor de nombres amics, ja que va aconseguir elevar la llista fins a les 62 parelles!
Curiosament però, a tots ells els va passar per alt una parella molt més baixa: 1184 i 1210, que foren destapats el 1866 per un italià de setze anys anomenat Niccolò Paganini (que no tenia res a veure amb el cèlebre músic).

Per si a algú li interessa, aquí trobareu la llista de nombres amics entre 1 i 20 milions:
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/numamigos_esp.pdf