Nombres Primers

Els primers són un dels grups de nombres més importants de les màtemàtiques. Es tracta de nombres que NOMÉS són divisibles entre ells mateixos i 1. Dit d'una altra manera, un nombre primer NO TÉ DIVISORS a part d'ell mateix i 1. Nombres primers són 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... i constitueixen les peces fonamentals de la teoria de nombres, ja que tota la resta de nombres es poden obtenir multiplicant els nombres primers entre ells. Però fem-nos una pregunta: Els nombres primers... arriba un moment que s'acaben o, com els altres nombres, són infinits?
La intuïció ens farà pensar que, contra més gran sigui un nombre, més fàcil és que es pugui dividir per algun nombre més petit. Així, suposarem que, a partir d'un cert punt de la sèrie infinita de nombres, aquests ja seràn tan grans que serà impossible que siguin primers. Doncs no!


Demostració d'Euclides de que la quantitat de nombres primers és infinita:
Suposem que la quantitat de nombres primers fós una llista finita que comencés per P1, P2, P3... i acabés amb el darrer nombre primer, que anomenarem Pn. Suposem que els multipliquem tots i al resultat li sumem 1 (P1 x P2 x P3... x Pn + 1). Hauríem creat així un nou nombre, que anomenarem N. Aquest nou nombre tant podria ser primer com no ser-ho. Si fós primer, ja tindríem un nou nombre primer major que tots els de la llista. I si no ho fós, llavors hauria de ser divisible per un nombre primer QUE NO ERA A LA LLISTA (que anomenarem Px), ja que si dividim N entre qualsevol dels que eren a la llista ens donarà inevitablement una resta d'1. Podríem afegir a la llista N (si fós primer) o Px i repetir la multiplicació... però llavors trobaríem un altre nombre, Na, que tant podria ser primer com no ser-ho i es repetiria la situació de N. Ja podem anar afegint nombres a la multiplicació, que sempre arribarem al mateix punt. Per tant, la quantitat de nombres primers és infinita. 


Per cert, de tota la sèrie infinita de nombres primers n'hi ha un que té una propietat única. Sabríeu dir quin? Una pista: És a la sèrie que he escrit a dalt. Fàcil, fàcil...