26 d’octubre de 2013

Equacions Elíptiques i Formes Modulars

En matemàtiques hi ha unes coses que es diuen Equacions Elíptiques i unes altres de molt diferents (i extremadament complicades) que es diuen Formes Modulars. Els matemàtics japonesos Taniyama i Shimura van conjecturar als anys 50 que ambdues coses estaven relacionades i que a cada Equació Elíptica li corresponia una Forma Modular. Però no ho van poder demostrar, ni ells ni ningú.
Així va quedar la cosa fins que l'any 1984 el matemàtic Gerhard Frey, seguint una sèrie de subtils i complicats raonaments, va realitzar un descobriment sorprenent: Si algú demostrava la conjectura de Taniyama-Shimura, automàticament estaria demostrant el darrer Teorema de Fermat, el problema més famós de les matemàtiques, considerat irressoluble des de féia més de 300 anys. L'afirmació de Frey, però, estava condicionada a la demostració d'un punt bàsic del seu raonament sense el qual tot saltava pels aires: Calia demostrar que una equació dissenyada per ell, sobre la qual pivotava tota la seva idea, no podia existir de cap de les maneres. Van caldre 2 anys per a que el matemàtic Ken Ribet aconseguís demostrar que tal equació certament era impossible, la qual cosa soldava definitivament Fermat a Taniyama-Shimura.
Ara venia la part difícil: Aconseguir el que ningú havia aconseguit durant més de 40 anys i demostrar la Conjectura de Taniyama-Shimura. Van caldre 9 anys de feina incansable i elevadíssimes dosis de talent per a que Andrew Wiles demostrés l'any 1995 la conjectura, convertida des d'aleshores en teorema.
En el transcurs d'aquests 9 anys, Wiles va haver de recòrrer a les més avançades eines matemàtiques del moment, inventant-ne de noves quan aquestes no li servien. El resultat va ser una demostració de 98 pàgines que, en realitat, només entenen al complet uns pocs matemàtics al món. Fins i tot, després de la primera publicació, la demostració de Wiles va estar a punt de caure estrepitosament a causa d'algus subtils errors detectats pels revisors. Això obligà Wiles a exprèmer encara més el seu cervell per a subsanar-los, cosa que finalment aconseguí.
Així doncs, gràcies a tot aquest embolic de ments prodigioses, ara ja sabem del cert que a cada Equació Elíptica li correspón una Forma Modular i que no hi ha 2 nombres que, elevats al cub o a qualsevol potència superior i sumats, donin com a resultat un altre nombre elevat al cub o a qualsevol potència superior.
Quina tranquil·litat, no?